Question

已知函数fx=1/3x^3-(a+1/2)x^2+bx+a(a,b∈R),且其导函数f‘(x)的图像过原点

1.若存在x<0,使得f'(x)=-9,求a的最大值
2.当a>0,求函数fx的极值
第二小题没什么问题 主要是第一小题 请仔细看下

Answer 1

解：

(1)

f(x)=(1/3)x³-(a+1/2)x²+bx+a,

f'(x)=x²-(2a+1)x+b,

因为f'(0)=0，得b=0,

f'(x)=x²-(2a+1)x=-9在x<0时有解，
需满足只有一解时此解为负，或两根都为负，

只有一个根时，a=-7/2,

有两解时，△=(2a+1)²-36>0，即a>5/2或a<-7/2，因为两根都是负的，所以两根之和2a+1<0,得a<-1/2,所以a<-7/2,

综上，a≤-7/2，

∴a的最大值为-7/2，

(2)

f'(x)=x²-(2a+1)x=0时x=0或x=2a+1，

极值就是导函数为0的点，

f(0)=a,

f(2a+1)=(-1/6)*(2a+1)³+a,

这两个值就是极值。

谢谢！