Question

高中数学函数题

已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x)，且在区间[0,2]上是增函数。若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根，则这四个根的和为？

对这题解题过程的一步不明白：
“由于f(x)为奇函数，且f(x)在区间[0,2]上是增函数，故f(x1)=m,x1属于[0,2]”
如果0<m<f(2)呢？

Answer 1

f(x)为奇函数
f(x-4)=-f(x)
所以：f(x+4)=-f(-x-4)=-[-f(-x)]=-f(x)=f(x-4)
f(x)=f(x-8),函数周期为8

f(x)在[0,2]上是增函数，f(x)为奇函数，所以：f(x)在[-2,2]上是增函数
且f(0)=0, 当x>0, f(x)>0, 当x<0, f(x)<0
所以：f(x)-m在[-2,2]上也是增函数
如果在此区间，f(x)-m和x轴相交，那只能有一个交点，x=x1,
f(x1)-m=0, f(x1)=m,因m>0, f(x1)=m>0, 则：x1>0 ==> x1落在x1[0,2]上
在[-2,0]上，不存在x满足f(x)=m

而：f(x)=-f(x-4)=f(4-x)
所以：f(x)关于x=2对称
所以：在[2,4]上，有x=4-x1,使得f(x)=m; 在[4,6]上，不存在x满足f(x)=m
而：f(x)周期8
因为在[-2,0]上，不存在x满足f(x)=m，所以：在[6,8]上，不存在x满足f(x)=m
因为在[4,6]上，不存在x满足f(x)=m，所以：在[-4,-2]上，不存在x满足f(x)=m
因为在[2,4]上，有x=4-x1,使得f(x)=m;所以：在[-6,-4]上，有x=(4-x1)-8=-4-x1,使得f(x)=m
因为在[0,2]上，有x=x1,使得f(x)=m;所以：在[-8,-6]上，有x=x1-8,使得f(x)=m

总结以上，四个根分别为：x1,4-x1,-4-x1,x1-8
四个根之和=x1+(4-x1)+(-4-x1)+(x1-8)=4-4-8=-8

另一方面：
如果在[-2,2]区间，f(x)-m和x轴不相交，则：在[-2,0]和[0,2]区间，都没有x满足f(x)=m
由f(x)=f(4-x),及周期=8，可以推出，在[-8,8]区间，没有x满足f(x)=m
这和题目给的条件f(x)=m有四个根不符合
所以：在[-2,2]区间，f(x)-m和x轴是相交的