Question

1.已知a、b、c成等差数列。试判断b+c、c+a、a+b是否构成等差数列，为什么

2.四个数成等差数列，其中四个数的平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个与第三个数的积少18，求此四个数

Answer 1

1.解：若b+c、c+a、a+b构成等价数列，则应有2(c+a)=(b+c)+(a+b)，

即2c+2a=b+c+a+b，整理得，c+a=2b

又已知a、b、c成等差数列，所以c+a=2b成立，

故：b+c、c+a、a+b构成等差数列。

2.解：依题意，设这四个数分别为x-3d，x-d，x+d，x+2d

（注：当四个数成等差数列时，以上的设法是一种常见的解题技巧，但要注意此时的d并不是公差，公差是2d!）

因为这四个数的平方和为94，所以

(x-3d)^2+(x-d)^2+(x+d)^2+(x+3d)^2=94，整理得，4x^2+20d^2=94 ①

因为第一个数与第四个数的积比第二个与第三个数的积少18，所以

(x-d)(x+d)-(x-3d)(x+3d)=18，整理得，8d^2=18 ②

联立①、②，解方程组得：x=±7/2，d=±3/2，

故：所求的四个数为：-1，2，5，8，或8，5，2，-1，或-8，-5，-2，1，或1,-2,-5,-8

Answer 2

1.
b+c、c+a、a+b构成等差数列
证 ∵a、b、c成等差数列
∴2b=a＋c
∴(b＋c)＋(a＋b)＝a＋2b＋c
＝a＋(a＋c)＋c
＝2(a＋c)
∴b＋c、c＋a、a＋b成等差数列

2.
设第一个数为a，第二、三、四个数为a+d、a=2d、a+3d，

则有

a^2+(a+d)^2+(a+2d)^2+(a+3d)^2=94 (1)

(a+d)(a+2d)-(a(a+3d)=18 (2)

由(2)可得 d=3或 d=-3，

把d=3代入(1)得 a=-1 或 -8，

把d=-3代入(1)得，a=1 或 a=8，

故所求的四个数为

1、-2、-5、-8

或 8、-5、-2、-1

或 -1、2、5、8

或 8、5、2、-1