Question

如图,ABCD是圆内接四边形,AB为圆O直径，且AB等于4，AD等于DC等于1，求BC

图，一个半圆，AD，CD分别位于左上角，想连形成一个钝角，求解，好的又追加。要两种方法。

Answer 1

解（一）：如图1，延长BC交AD的延长线于点E，连接BD。

因为AB是⊙O的直径，那么BD⊥DE,

又AD=DC,所以三角形ABE是等腰三角形.

有DE=AD=1,BE=AB=4.

又DE=CD=1,∠E是公共角，有△ABE∽△EDC

得出CE/DE=AE/AB=2/4，所以EC=1/2。

于是BC=BE-CE=4-1/2=7/2。

解（二）：如图2，连接OD、AC相交于F，

因为DE=AD，所以弧DE=弧AD，又O是圆心，

根据垂径定理可得OD垂直平分AC。

令OF=x，有AF^2=AD^2-DF^2=OA^2-AF^2

又OA=AB/2=2

于是有1-（2-x)^2=4-x^2

解这个方程得x=7/4,于是AC=√15/2。

又AB是直径，那么三角形ACD是直角三角形

根据勾股定理，有BC^2=AB^2-AC^2

                  BC=7/2

Answer 2

解（一）：如图1，延长BC交AD的延长线于点E，连接BD。
因为AB是⊙O的直径，那么BD⊥DE,
又AD=DC,所以三角形ABE是等腰三角形.
有DE=AD=1,BE=AB=4.
又DE=CD=1,∠E是公共角，有△ABE∽△EDC
得出CE/DE=AE/AB=2/4，所以EC=1/2。
于是BC=BE-CE=4-1/2=7/2。
解（二）：如图2，连接OD、AC相交于F，
因为DE=AD，所以弧DE=弧AD，又O是圆心，
根据垂径定理可得OD垂直平分AC。
令OF=x，有AF^2=AD^2-DF^2=OA^2-AF^2
又OA=AB/2=2
于是有1-（2-x)^2=4-x^2
解这个方程得x=7/4,于是AC=√15/2。
又AB是直径，那么三角形ACD是直角三角形
根据勾股定理，有BC^2=AB^2-AC^2
BC=7/2