Question

高中数学问题！！！急急急

求实数m的范围,使关于x的方程x^2+(m-1)x+2m+6=0:(1)有两个实根,且一个比2大,一个比2小；
（2）有两个实数根，且都比1大；
（3）有两个实数根α，β，且满足0＜α＜1＜β＜4；
（4）至少有一个正根。
有解题题过程，好的追加分！

Answer 1

本题主要考察韦达定理，现给出具体思路，没计算数值

方程x^2+2(m-1)x+2m+6=0有两个实根，满足△=4(m-1)^2-4（2m+6）>0
m^2-4m-5>0...m>5或m<-1
根据韦达定理有x1+x2=-2(m-1)
x1x2=2m-6

1）
有两个实根,一个大于2,一个小于2；
(x1-2)(x2-2)<0
x1x2-2(x1+x2)+4<0
带入x1x2，x1+x2解出即可
注意要和m>5或m<-1取交集
2）
都比1大
那么（x1-1）（x2-1）>0
x1x2-(x1+x2)+1>0
带入x1x2，x1+x2解出即可
注意要和m>5或m<-1取交集

3)两个实根x1，x2满足0<x1<1<x2<4;
满足:f(0)>0,f(1)<0,f(4)>0,结合结合根的判别式>0.....m>5或m<-1,可以解出m的取值
4）
至少有一个正根，分为一正一负，两个正根，和一个0根一个正根三种：
当一根为0时，2m+6=0，m=-3，带入原方程，x=0或8，满足题意
一正一负，两根之积小于0。2m+6<0.得m<-3
两正根，两根和、积均大于0。得-3<m<1
综上，m<1
但还需考虑方程一定有实根：Δ≥0，既m≤-1或m≥5