Question

已知集合A＝｛x∈R｜x²－4ax＋2a＋6＝0｝，B＝｛x∈R｜x＜0｝，若A∩B≠空集，求实数a的取值范围

已知集合A＝｛x∈R｜x²－4ax＋2a＋6＝0｝，B＝｛x∈R｜x＜0｝，若A∩B≠空集，求实数a的取值范围

Answer 1

集合A＝｛x∈R｜x²－4ax＋2a＋6＝0｝，B＝｛x∈R｜x＜0｝，A∩B≠空集，
则方程x²－4ax＋2a＋6＝0至少有一个负根，记f(x)=x²－4ax＋2a＋6,
若方程x²－4ax＋2a＋6＝0只有一个负根时,f(0)=2a＋6≤0,a≤-3;
若方程x²－4ax＋2a＋6＝0的两根都是负根时,应同时满足三个条件:
Δ=16a^2-4(2a＋6)≥0,(对称轴)2a<0,f(0)=2a＋6>0
解得a≤-1或a≥3/2,a<0,a>-3
取交集得-3<a<0.
综上所述所求实数a的取值范围是a<0.

Answer 2

因为A∩B≠空集，所以A不为空集,且方程至少有一个负数根

所以根的判别式应不小于0
得：16a^2-4(2a+6)>=0,即 2a^2-a-3>=0
解得：a>=3/2或a<=-1
经验证a=3/2时，根为3（两等根），舍去
a=-1时，根为-2（两等根），合题意

所以 a>3/2或a<=-1
当方程两个根都是正数时，有两根之和大于0，两根之积大于0
得 4a>0且2a+6>0,即a>0
所以方程两个根都是正数时，a>3/2
对a>3/2在a>3/2或a<=-1范围内取补集，
即得到方程至少有一个负数根情况下a的取值范围,即a<=-1
综上 a<=-1

Answer 3

已知集合A＝｛x∈R｜x²－4ax＋2a＋6＝0｝，B＝｛x∈R｜x＜0｝，若A∩B≠空集，求实数a的取值范围因为A∩B≠空集，所以A不为空集,且方程至少有一个负数根

所以根的判别式应不小于0
得：16a^2-4(2a+6)>=0,即 2a^2-a-3>=0
解得：a>=3/2或a<=-1
经验证a=3/2时，根为3（两等根），舍去
a=-1时，根为-2（两等根），合题意

所以 a>3/2或a<=-1
当方程两个根都是正数时，有两根之和大于0，两根之积大于0
得 4a>0且2a+6>0,即a>0
所以方程两个根都是正数时，a>3/2
对a>3/2在a>3/2或a<=-1范围内取补集，
即得到方程至少有一个负数根情况下a的取值范围,即a<=-1
综上 a<=-1