Question

高一一元二次不等式

求解题思路和过程
1.已知关于X的不等式(a^2-3)x^2+5x-2>0的解集是(1/2,2),则实数a=_____
2.关于x的不等式ax^2+bx+c<0(a不等于0)的解集是空集，则a，b，c满足的关系式____
3.y=4x^2-mx+5,当x<-2时，y随x的增大而减小；当x>-2时，y随x的增大而增大，则当x=1时，函数y的值是（ ）A.-7 B.1 C.17 D.25
4.已知ax^2+2x+c>0的解集是（-1/3，1/2），求-cx^2+2x-a>0的解集
5.已知不等式（m^2+4m-5)x^2-4(m-1)x+3>0对于一切实数x恒成立，求实数m的取值范围

Answer 1

1.已知关于X的不等式(a^2-3)x^2+5x-2>0的解集是(1/2,2),则实数a=_____
解析：∵不等式(a^2-3)x^2+5x-2>0的解集是(1/2,2)
由二次不等式性质可知，a^2-3<0
F(x)=(a^2-3)x^2+5x-2, F(1/2)=(a^2-3)/4+1/2=0==>a^2=1
F(2)=4(a^2-3)+8=0==>a^2=1
∴a=±1

2.关于x的不等式ax^2+bx+c<0(a不等于0)的解集是空集，则a，b，c满足的关系式____
解析：当a<0时，不等式ax^2+bx+c<0(a不等于0)的解集不可能是空集
当a>0时，不等式ax^2+bx+c<0(a不等于0)的解集是空集
则⊿=b^2-4ac<=0

3.y=4x^2-mx+5,当x<-2时，y随x的增大而减小；当x>-2时，y随x的增大而增大，则当x=1时，函数y的值是（ ）A.-7 B.1 C.17 D.25
解析：∵y=4x^2-mx+5,当x<-2时，y随x的增大而减小；当x>-2时，y随x的增大而增大
y=4x^2-mx+5=4(x^2-m/4x+5/4)= 4(x-m/8)^2+5-m^2/16
∴函数y的对称轴m/8=-2==>m=-16
y=4x^2+16x+5, ∴当x=1时，函数y的值是25,选择D

4.已知ax^2+2x+c>0的解集是（-1/3，1/2），求-cx^2+2x-a>0的解集
解析：∵ax^2+2x+c>0的解集是（-1/3，1/2）
∴a<0
令ax^2+2x+c＝0
由韦达定理-2/a=1/2-1/3==>a=-12, c/a=-1/6==>c=2
-cx^2+2x-a>0==>-2x^2+2x+16>0==>x^2-x-8>0
X<(1-√33)/2或X>(1+√33)/2

5.已知不等式（m^2+4m-5)x^2-4(m-1)x+3>0对于一切实数x恒成立，求实数m的取值范围
解析：∵不等式（m^2+4m-5)x^2-4(m-1)x+3>0对于一切实数x恒成立
∴m^2+4m-5>0==>m<-5或m>1
⊿=16(m-1)^2-12(m^2+4m-5)<0
16m^2-32m+16-12m^2-48m+60<0==> m^2-20m+19<0==>m<1或m>19
∴实数m的取值范围x<-5或m>19