Question

一道初二数学难题（附图）

如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上的一动点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，过点P作DP的垂线交BC于点G，DG交AC于点Q。
请问如何证明EF⊥DP？

谢谢各位答题，小弟不胜感激

Answer 1

如图：将FP、DP分别作延长线交于AD和EF的I、H点。

因为AD‖BC，PF⊥BC,所以PI⊥AD,

又因为PE⊥AB

所以AI=PI=PE,ID=PF,PF⊥PE

所以DPI≌△FEP。

所以∠1=∠4

由对角相等知道∠2=∠3

所以∠4+∠3=∠1+∠2=90

因为∠5+∠3+∠4=180

所以∠5=180-（∠3+∠4）=90

所以DP⊥EF

Answer 2

证明:连BP,过P作PH⊥CD交CD于H,
△PEG≌△PHD,
所以PG=PD,
因为PD=PB,
所以PB=PG,
所以∠PBC=∠PGB,
矩形EBFP中,∠PBC=∠EFB,
所以∠EBC=∠PGB,
所以PG‖EF,
所以EF⊥DP