Question

初三数学 在三角形ABC中，角C=90度，AC=8,BC=6.P是AB边上的一个动点（异于A、B两点),

如图，在三角形ABC中，角C=90度，AC=8,BC=6.P是AB边上的一个动点（异于A、B两点),过点P分别作AC、BC边的垂线，垂足为MN,设AP=X,
（1）当x= 时，矩形PMCN的周长是14；
（2）是否存在X的值，使得三角形PAM的面积、三角形PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等？请你说出你的判断，并加以说明

Answer 1

第一题很简单

当x=5时，矩形PMCN的周长是14

三角形ABC相似于三角形APM

AP/AB=MP/BC

X/10=MP/6

MP=3X/5

MC=7-3X/5

AM=AC-MC=8-(7-3X/5)=3X/5+1

AP^2=AM^2+MP^2

X^2=(3X/5+1)^2+(3X/5)^2

X^2=9X^2/25+6X/5+1+9X/25

X^2=18X^2/25+6X/5+1

7X^2/25-6X/5-1=0

7X^2-30X-25=0

(7X+5)(X-5)=0

X=5或X=-5/7(舍去）

第二题如图

Answer 2

（1）∵△ABC为直角三角形，且AC=8，BC=6，
∴AB=$\sqrt{{AC}^{2}+{BC}^{2}}=\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}=10$．

（2）∵PM⊥AC PN⊥BC
∴MP∥BC AC∥PN（垂直于同一条直线的两条直线平行），
∴$\frac{PM}{BC}=\frac{AP}{AB}，\frac{PN}{AC}=\frac{BP}{AB}$
∵AP=x，AB=10，BC=6，AC=8，BP=10-x
∴PM=$\frac{BC?AP}{AB}=\frac{6}{10}x=\frac{3}{5}x$
PN=$\frac{AC?BP}{AB}=\frac{8}{10}（10-x）=\frac{4（10-x）}{5}$=8-$\frac{4x}{5}$
∴矩形PMCN周长=2（PM+PN）=2（$\frac{3}{5}$x+8-$\frac{4}{5}$x）=14．
∴x=5．

（3）∵PM⊥AC，PN⊥BC，
∴AC∥PN．
∴∠A=∠NPB．
∴△AMP∽△PNB．
∴当P为AB中点，即AP=PB时，△AMP≌△PNB，
此时，S△AMP=S△PNB=$\frac{1}{2}AM?MP=\frac{1}{2}×4×3=6$，
而矩形PMCN面积=PM?MC=3×4=12，
∴不存在能使得△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN面积同时相等的x的值