Question

2道不等式题

已知a.b.c都是正数，求证：ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)≥6ac
设x,y是实数，求证：X^2+y^2+5≥2（2x+y)

Answer 1

(3√)表示三次根号，＾表示指数
1。第一题题目应该是a.b.c都是正整数，代a.b.c为0.5，有

左边是0.25*3=0.75,右边是6*0.25=1.5，显然不成立。
现在视a.b.c都是正整数
在不等式两边同时除以abc,(abc>0),得
(a+b)/c+(b+c)/a+(c+a)/b≥6/b,
由基本不等式得，
左边≥3√(a+b)(b+c)(c+a)/abc
=3√(a+b)/a * （b+c）/b * (c+a)/c
=3√(1+b/a)(1+c/b)（1+a/c）
=3√(2+a/c+c/a+c/b+b/c+a/b+b/a)(再一次用基本不等式)
≥3√（2+2+2+2）=6，
因为b是正整数，所以6 ≥6/b
原式得证
2.X^2+y^2+5≥2（2x+y)
移项
X^2-4x+4+y^2-2y+1
=（x-2）^2+(y-1)^2≥0
得证