Question

已知数列{an}的首项a1=2/3 a（n+1)=2an/an+1 n=1 ， 2 ，3 ………… 证明数列{1/an—1}是等比数列

（2） 求数列{n/an}的前n项和Sn

Answer 1

(1)a(n+1)=2an/(an+1) 1/a(n+1)=1/2+1/(2an) 1/a(n+1)-1=1/2(1/an-1)
∴{1/an-1}是等比数列

(2)1/an-1=(1/a1-1)*(1/2)^(n-1)=1/2*(1/2)^(n-1)=(1/2)^n
∴1/an=1+(1/2)^n n/an=n+n*(1/2)^n
∴Sn=(1+2+3+……+n)+[1*(1/2)^1+2*(1/2)^2+……+n*(1/2)^n]
设 Tn=1*(1/2)^1+2*(1/2)^2+……+n*(1/2)^n ……（1）
1/2Tn= 1*(1/2)^2+2*(1/2)^3+……+n*(1/2)^(n+1)……（2）
（1）-（2）得：
1/2Tn= 1*(1/2)^1+1*(1/2)^2+……+1*(1/2)^n -n*(1/2)^(n+1)
= 1-(1/2)^n-n*(1/2)^(n+1)
Tn=2-(1/2)^(n-1)-n*(1/2)^n
∴Sn=n(n+1)/2+2-(1/2)^(n-1)-n*(1/2)^n