Question

关于考研高数的问题，

以下三个命题：哪个正确那个错误，错误的请给出反例，正确的予以解释
1． 一个周期函数与一个非周期函数之和必不是周期函数
2． 一个有界函数与一个无界函数必不是有界函数
3． 一个具有奇偶性的函数与一个不具有奇偶性的函数之和必不具有奇偶性
请教各位高手，万分感谢

Answer 1

1. 错。sinx周期为2π,sinπx-sinx不是周期函数(关于这一点你自己可以尝试证明）sinπx周期为2. sinx+sinπx-sinx=sinπx即属于周期函数加上一个非周期函数得到一个周期函数的例子。

2. 对。(估计也是和),这个比较简单。如果得到的是有界函数，那么必导致两个有界函数的差是无界函数，这不可能（容易证明)。

3. 错。sinx是奇函数，1-sinx非奇非偶，但是二者之和为1，1是偶函数。
还有很经典的等式：
[f(x)+f(-x)]/2+[f(x)-f(-x)]/2=f(x)也能推知其错误。

Answer 2

第一个是对的
第二个我没看懂 是和还是积 假如是和的话是对的 这么理解吧无界函数可能取值到无穷大，有界函数只能取到某个M。∞+M=∞ 假如是积就错了 若F(X)恒为O 而G(X)无界 则积为O
第三个对的 同时奇函数+奇函数=奇函数
偶函数+偶函数=偶函数
奇函数+偶函数不一定

Answer 3

1、正确。
证明：设h(x)=f(x)+g(x)，其中，f(x)为周期函数，最小正周期为T，g(x)为非周期函数。假设h(x)为周期函数，最小正周期为S。
令S、T的最小公倍数为K，则有h(x+K)=f(x+K)+g(x+K)=f(x)+g(x+K)。
得h(x+K)-h(x)=g(x+K)-g(x)。因为K也是h(x)的周期，所以h(x+K)-h(x)=0，即g(x+K)-g(x)=0，得g(x+K)=g(x)，g(x)是周期函数，K是其周期。与题设条件矛盾！所以，h(x)必不是周期函数。

2、第二个什么意思，打漏字了吧……

3、错误。
反例。f(x)=x为奇函数，g(x)=x^2-x不具有奇偶性，h(x)=f(x)+g(x)=x^2为偶函数。

Answer 4

sinπx-sinx 这个函数的周期是4π啊 2楼错了我的观点和 WSTX2008 一样，仅供楼主参考