Question

可积的问题

可积的充分条件：1.f(x)在闭区间[a,b]上连续
2.f(x)在[a,b]上有界，且只有有限个间断点
3.f(x)在[a,b]上单调
请问第三个条件跟第一个条件，跟第二个条件有什么不同？请详细解答，谢谢。最好举出实例。
您说的被积函数必有界是针对定积分来说的吧，有界是针对无穷说的？

Answer 1

此三者为并列条件，任何一个都是函数可积的充分条件。

1，函数的可积性是针对于定积分提出来的,跟不定积分和广义积分没啥关系.
2，所有的充分条件中都要求“闭区间”这个最重要的条件。
3，关于第二个充分条件的讨论：有界且有有限个间断点则说明间断点的类型包括第一类间断点（可去间断点和跳跃间断点），第二类间断点中的震荡间断点而不包括无穷间断点，因为无穷间断点使得函数在闭区间内无界。进一步来思考：一般定积分我们用牛-莱公式计算，而第一类间断点使得积分不存在原函数，所以应该用分段积分法计算。第二类间断点，震荡间断点比如说SIN(1/X）的积分虽然可积，但积分如何计算至今还没碰见这类问题，需查积分表，这也超出了我们的考察范围！无穷间断点不可积，但可以用广义积分判断其敛散性，若其他情况，只要能判断其原函数存在，用牛-莱公式即可！
4，关于可积充分条件的第三个条件：函数的单调性是对于连续函数说的，若有间断点，就无所谓单调性了，所以教材上并未列出这个条件，估计是二李想用“闭区间上单调函数必有界”来说的。无所谓了。由此可见，教材才是最严密的，绝不废话，千锤百炼啊！

可积的必要条件：被积函数在闭区间上有界；
讨论:反证法----若被积函数无界，则积分趋于无穷，肯定不可积了！
总之一句话：可积性是对于定积分的概念，其结果必须是一个确定的值，而不是收敛和发散的问题！
定积分的计算多数要用到原函数：
原函数存在的充分条件：连续函数一定有原函数
但是原函数存在并不能说函数就一定连续，因为存在第二类间断点的函数也可能有原函数，需具体判断！

一个含有震荡间断点的函数例子：f(x)=2x*sin(1/x)-cos(1/x)
这个函数在整个区间上都是可积的（有界，可数个震荡型间断点，故可积）。
原函数F(x)为连续的分段函数： F(x)=x^2*sin（1/x），当x不等于0；F(x)=0，当x=0。
原函数明显是个奇函数，故在整个定义区间内积分为0。
所以：含有震荡间断点的函数仍有可能可积。

ps,久了，我也忘了，上网查询复习了一遍。

Answer 2

此处，只讨论 闭区间：[a,b] 上的（黎曼)定积分 意义下的可积条件；

1)
对上述三个条件，明显 条件1 是 条件2 的特殊情形,无需解释；
f(x)在闭区间[a,b]上连续 ==> f(x)在[a,b]上有界，且只有有限个间断点

2)
条件3 和 条件2 则是对两类不同的【可积函数类】的总结。
意思是 对一个单调函数而言，即使它可能有无穷多个间断点【注意：这一情形无法被条件2概括】，此单调函数也是可积的。
举个例子： y=f(x) x∈[0,1] :
y(0)=0
y=1/2^[1/x] x∈(0,1] 【[1/x]表示对1/x 的取整函数】