Question

高中数学椭圆性质题，急！！！

已知c是椭圆想x^2+y^2=1(a>b>0)的半焦距，则（b+c)/a的取值范围

Answer 1

是不是x^2/a^2+y^2/b^2=1
在椭圆中a^2=b^2+c^2
将（b+c)/a 平方
=((b^2+c^2+2bc)/(b^2+c^2))
=1+2bc/(b^2+c^2)
b^2+c^2>=2bc
∴0<2bc/(b^2+c^2)<=1
∴（b+c)²/a²(1,2]
所以（b+c)/a的范围是(1,根号2]
注意可以取到根号2

Answer 2

约束条件a^2=b^2+c^2，设参数x，令
b=acosx
c=asinx
x范围0到pi/2（因为abc都为正），则有
(b+c)/a=cosx+sinx=根号2*sin(x+pi/4)
可得
1<(b+c)/a<=根号2

Answer 3

解：∵a²=b²+c²,∴a,b,c构成一个以a为斜边的Rt⊿,由“两边和大于第三边”可知，b+c＞a＞0.∴(b+c)/a＞1.又由柯西不等式知，2a²=(1²+1²)(b²+c²)≥(b+c)².===>(√2)a≥b+c.===>(b+c)/a≤√2.综上可知，1＜(b+c)/a≤√2.