Question

已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>-2x的解集为(1,3)

已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>-2x的解集为(1,3)
问：（1）若方程f(x)+6a=0有两个等跟，求解析式
（2）若f(x）最大值为正数，求a的取值范围

答案中
（1）设y=ax2+bx+c(a≠0)，
根据第一个条件，ax2+(b+2)x+c>0的解集是（1，3），
所以有a<0

a<0是怎样判断出来的?

Answer 1

解集是（1，3），
即1<x<3
所以不等式是(x-1)(x-3)<0
是小于0, 且x²系数是1
所以ax²+bx+c>0两边除以a后不等号改向
所以a<0

Answer 2

因为解集是（1，3）有两端，且大于0，开口方向自然就向下了，向下当然a＜0

Answer 3

显然开口向下，否则不可能是（1,3）之间取值的
如果开口向上，那么f（x）+2x>0的范围将是x<1或x>3这样类型的解
1.设y=ax^2+bx+c(a<0)
所以，y+2x=a(x-1)(x-3)
所以，y=ax^2-(4a+2)x+3a
则，f(x)+6a=ax^2-(4a+2)x+9a
即有，判别式=（4a+2）^2-4a*9a=0
所以，a=-1/5（舍去a=1）
y=-1/5x^2+6/5 *x-3/5
2.原式配方得：
y=a[x-(2a+1)/2]^2-（2a+1）^2/a +3a
由于a<0，所以：
-（2a+1）^2/a +3a为最大值
所以该值大于0，解得：
0>x>-2+根号3，或x<-2-根号3