Question

【高中数学】如题如图，第一问的答案中的划圈部分如何得出的？

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Answer 1

如图

追问

这属于“均值不等式”的范畴？

Answer 2

设|OA|=a，|OB|=b，
(其中a>0，b>0)
则依截距式知AB方程为
x/a+y/b=1，
它过点P(1，4)，故
1/a+4/b=1.

(1)a+b
=(a+b)·1
=(a+b)(1/a+4/b)
=5+b/a+4a/b
≥5+2√(b/a·4a/b)
=9
取等时a:1=b:2且1/a+4/b=1，
即a=3，b=6.
∴l为x/3+y/6=1，
即2x+y-6=0.

(2)ab·1
=ab(1/a+4/b)
=4a+b
≥2√(4a·b)
=4√(ab)
∴ab(ab-16)≥0
∴ab≥16，
取等时b=4a且1/a+4/b=1，
即a=2，b=8，
此时l方程x/2+y/8=1，
即4x+y-8=0。