Question

高二数列问题

1．设数列｛bn｝的前n项和为Sn，且bn=2-2Sn，数列｛an｝为等差数列，且a5=14，a7=20.
求数列｛bn｝的通项公式：
若cn=an*bn，n=1，2，3，…，Tn为数列｛cn｝的前n项和，求证Tn＜7/2

2．设公差不为零的等差数列｛an｝与等比数列｛bn｝满足a1=b1，a7=b5试问对怎样的n，m，可使an=bm成立

Answer 1

1.1
-2bn=2-2Sn-2+2S<n-1>=bn-b<n-1>
所以 bn=b<n-1>/3
又有 b1=S1=2-2S1
所以 b1=S1=2/3
易得 {bn}=（1/3）^（n）*2
1.2
d=（a7-a5）/2=3
得a1=a5-4d=2
易得 {an}=-1+3n
cn=(-1+d)/3+(-1+2d）/9+(-1+3d)/27+...*(-1+nd))*2/(3^n)
3c<n+1>=(-1+2d)/3+(-1+3d）/9+(-1+4d)/27+...*(-1+(n+1)d))*2/(3^n+1)-1+d
3c<n+1>-cn=(-1+2d)/3+(-1+3d）/9+(-1+4d)/27+...*(-1+(n+1)d))*2/(3^n+1)-[(-1+d)/3+(-1+2d）/9+(-1+3d)/27+...*(-1+nd))*2/(3^n)]-1+d
=d/3+d/9+d/27+...+d/3^n-1+d
=1*（1-1/3^n）/(1-1/3)-1+3=7/2-3*（1/3^n）/2<7/2

2.记q为公比 b为公差
a1+6d=b1*q^4
所以a1=b1=6d/（q^4-1）
6d/（q^4-1）+nd=6d*q^m/（q^4-1）
nd=6d*（q^(m-1)-1）/（q^4-1）
n*（q^4-1）=6*（q^(m-1)-1）
n*（q^5-q）=6*（q^m-1) *
满足上式即可

Answer 2

1.-2bn=2-2Sn-2+2S<n-1>=bn-b<n-1>
所以 bn=b<n-1>/3
又有 b1=S1=2-2S1
所以 b1=S1=2/3
易得 {bn}=（1/3）^（n）*2
1.2
d=（a7-a5）/2=3
得a1=a5-4d=2
易得 {an}=-1+3n
cn=(-1+d)/3+(-1+2d）/9+(-1+3d)/27+...*(-1+nd))*2/(3^n)
3c<n+1>=(-1+2d)/3+(-1+3d）/9+(-1+4d)/27+...*(-1+(n+1)d))*2/(3^n+1)-1+d
3c<n+1>-cn=(-1+2d)/3+(-1+3d）/9+(-1+4d)/27+...*(-1+(n+1)d))*2/(3^n+1)-[(-1+d)/3+(-1+2d）/9+(-1+3d)/27+...*(-1+nd))*2/(3^n)]-1+d
=d/3+d/9+d/27+...+d/3^n-1+d
=1*（1-1/3^n）/(1-1/3)-1+3=7/2-3*（1/3^n）/2<7/2

2.记q为公比 b为公差
a1+6d=b1*q^4
所以a1=b1=6d/（q^4-1）
6d/（q^4-1）+nd=6d*q^m/（q^4-1）
nd=6d*（q^(m-1)-1）/（q^4-1）
n*（q^4-1）=6*（q^(m-1)-1）
n*（q^5-q）=6*（q^m-1)