Question

一道初中数学题求解。

Answer 1

必要性很简单,不证了.

充分性,利用角平分线长公式.
△ABC中,若BE平分∠ABC,则BE=2AB*BC*cos(∠ABC/2)/(AB+BC)
根据该等式,2cos(∠ABC/2)/BE=(AB+AC)/(AB*BC)=1/AB+1/BC

同理,2cos∠(ACB/2)/CD=1/AC+1/BC
设BE=CD=k,两式相减得2/k*[cos(∠ABC/2)-cos(∠ACB/2)]=1/AB-1/AC
假设AB>AC,则∠ACB>∠ABC
於是等式右边为负数,而左边,因为2/k为正,馀弦函数在0到180°为减函数,所以cos(∠ABC/2)-cos(∠ACB/2)>0,即左边为正数.正数=负数,矛盾.
同理AB<AC不成立
∴AB=AC