Question

已知数列｛an｝的前n项和为sn，且sn=2n^2+n，n是正整数，又an=4*(log^2bn) +3

（1）求an，bn
（2）数列｛an*bn｝的前n项和Tn？

Answer 1

1.
n=1时，a1=S1=2×1²+1=3
n≥2时，an=Sn-S(n-1)=2n²+n-[2(n-1)²+(n-1)]=4n-1
n=1时，a1=4×1-1=3，同样满足通项公式
数列{an}的通项公式为an=4n-1
对数有意义，真数bn>0
an=4lg²bn+3
4lg²bn +3=4n-1
4lg²bn=4n-4
lg²bn=n-1
bn=10^(n-1)
数列{bn}的通项公式为bn=10^(n-1)
2.
cn=anbn=(4n-1)×10^(n-1)
Tn=c1+c2+...+cn=3×1+7×10+11×10²+...+(4n-1)×10^(n-1)
10Tn=3×10+7×10²+...+(4n-5)×10^(n-1)+(4n-1)×10ⁿ
Tn-10Tn=-9Tn=3+4×10+4×10²+...+4×10^(n-1) -(4n-1)×10ⁿ
=4×1+4×10+4×10²+...+4×10^(n-1) -(4n-1)×10ⁿ -1
=4×(10ⁿ-1)/(10-1) -(4n-1)×10ⁿ -1
=[(13-36n)×10ⁿ -13]/9
Tn=[(36n-13)×10ⁿ +13]/81