Question

在三角形abc中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m=（cos（A-B），sin（A-B）

在三角形abc中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m=（cos（A-B），sin（A-B）），向量n=（cosB，-sinB），且向量m·向量n=-3/5（1）求sinA的值（2）若a=4根号2，b=5，求角B的大小及向量BA在向量BC方向上的投影

Answer 1

在三角形abc中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m=（cos（A-B），sin（A-B）），向量n=（cosB，-sinB），且向量m·向量n=-3/5（1）求sinA的值（2）若a=4√2，b=5，求角B的大小及向量BA在向量BC方向上的投影

解：(1)。m•n=cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=cosA=-3/5，A是钝角，故sinA=√(1-9/25)=4/5；
(2)。由正弦定理：a/sinA=b/sinB，故sinB=bsinA/a=[5×(4/5)]/4√2=1/√2=√2/2，A是钝角，∴B=45º。
由余弦定理：a²=32=b²+c²-2bccosA=25+c²-10c(-3/5)=25+c²+6c，故得c²+6c-7=(c+7)(c-1)=0；
故得c=1；于是得BA在BC方向上的投影=c×cosB=1×cos45º=√2/2.

Answer 2

(1)
cos(A-B)cosB-sin(A-B)sin(A+C)=-3/5
∵A+C=180º-B
∴sin(A+C)=sinB
∴cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-3/5
∴cos(A-B+B)=-3/5
即cosA=-3/5
(2)
a=4√2，b=5
根据正弦定理
a/sinA=b/sinB
∴sinB=bsinA/a=(5*4/5)/(4√2)=√2/2
∵A为钝角 ∴C为锐角
∴cosB=√2/2
根据余弦定理
a²=b²+c²-2bccosA
∴32=25+c²+2*5c*3/5
∴c²+6c-7=0
解得c=1

向量BA在向量BC方向上的投影
为|BA|cos<BA,BC>=c*cosB=√2/2

追问

C是哪里来的?题目没有出现C，而且我要求的是sinA不是cosA