已知函数f(x)=(k^2+1)x^2-2kx-(k-1)^2(k∈R),x1,x2是f(x)的两 个零点,且x1>x2 (
已知函数f(x)=(k^2+1)x^2-2kx-(k-1)^2(k∈R),x1,x2是f(x)的两个零点,且x1>x2(1)(i)求证:x1=1;(ii)求x2的取值范围...
已知函数f(x)=(k^2+1)x^2-2kx-(k-1)^2(k∈R),x1,x2是f(x)的两 个零点,且x1>x2
(1)(i)求证:x1=1;(ii)求x2的取值范围;
(2)记g(k)为函数f(x)的最小值,当x2∈【-2,-1】时,求g(k)的最大值。 展开
(1)(i)求证:x1=1;(ii)求x2的取值范围;
(2)记g(k)为函数f(x)的最小值,当x2∈【-2,-1】时,求g(k)的最大值。 展开
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1) f(1)=k²+1-2k-(k-1)²=(k-1)²-(k-1)²=0
所以x=1为f(x)的零点
因为两根积=-(k-1)²/(k²+1)<=0,所以另一个零点<=0
由于x1>x2,所以x1=1, x2<=0
x1+x2=2k/(k²+1)
所以x2=2k/(k²+1)-1
因为|2k|<=k²+1,所以-1=<2k/(k²+1)<=1
故有-2=<x2<=0
2)当x2∈[-2,-1],即-1=<2k/(k²+1)<=0
得k<=0
g(k)=-(k-1)²-k²/(k²+1)=-(k-1)²+1/(k²+1)-1
当k=0时,-(k-1)²及1/(k²+1)都取最大值
此时g(k)也取最大值,为g(0)=-1
所以x=1为f(x)的零点
因为两根积=-(k-1)²/(k²+1)<=0,所以另一个零点<=0
由于x1>x2,所以x1=1, x2<=0
x1+x2=2k/(k²+1)
所以x2=2k/(k²+1)-1
因为|2k|<=k²+1,所以-1=<2k/(k²+1)<=1
故有-2=<x2<=0
2)当x2∈[-2,-1],即-1=<2k/(k²+1)<=0
得k<=0
g(k)=-(k-1)²-k²/(k²+1)=-(k-1)²+1/(k²+1)-1
当k=0时,-(k-1)²及1/(k²+1)都取最大值
此时g(k)也取最大值,为g(0)=-1
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