Question

已知函数f(x)=(k^2+1)x^2-2kx-(k-1)^2(k∈R),x1,x2是f(x)的两 个零点，且x1＞x2 （

已知函数f(x)=(k^2+1)x^2-2kx-(k-1)^2(k∈R),x1,x2是f(x)的两 个零点，且x1＞x2
（1）（i）求证：x1=1；（ii）求x2的取值范围；
（2）记g（k）为函数f（x）的最小值，当x2∈【-2，-1】时，求g（k）的最大值。

Answer 1

1) f(1)=k²+1-2k-(k-1)²=(k-1)²-(k-1)²=0
所以x=1为f(x)的零点
因为两根积=-(k-1)²/(k²+1)<=0,所以另一个零点<=0
由于x1>x2,所以x1=1, x2<=0

x1+x2=2k/(k²+1)
所以x2=2k/(k²+1)-1
因为|2k|<=k²+1,所以-1=<2k/(k²+1)<=1
故有-2=<x2<=0

2)当x2∈[-2，-1],即-1=<2k/(k²+1)<=0
得k<=0
g(k)=-(k-1)²-k²/(k²+1)=-(k-1)²+1/(k²+1)-1
当k=0时，-(k-1)²及1/(k²+1)都取最大值
此时g(k)也取最大值，为g(0)=-1