Question

连续函数一定有原函数。含有第二类间断点的函数可能含有原函数，第一类没有。

那含有第一类间断点的函数可积，含有第二类间断点的函数是否可积？能不能帮我总结一下这些由原函数，，可积之间的关系？谢谢

Answer 1

这的确是很容易混淆的两个概念，其实这二者之间没有什么关系，也就是说可积可能原函数不是初等函数，原函数存在也可能不可积。例如sinx/x，它有第一类间断点，故原函数不是初等函数，但它在R上是可积的。再如1/x的原函数存在且为初等函数lnx，但其在(0,1)上不可积（包括广义积分）。另外需要注意的是，函数有原函数和函数的原函数是初等函数也是两个不同的概念，只要连续就有原函数，但其原函数不一定是初等函数，还是刚才的f(x)=sinx/x，补充定义f(0)=0后，它是连续的，有原函数，但原函数不是初等函数。含有第二类间断点的函数，常义积分（就是一般的定积分）一定是不存在的，因为常义可积的必要条件是函数有界，但是其广义积分可能存在。

追问

为什么含有第一类间断点的函数没有原函数？是符合只有连续才能有原函数吗？振荡间断点到底是什么样的间断点，sin1/x感觉想不出来。

追答

导函数没有第一类间断点，这是一个定理，这里就不证明了。这就是说，不是所有的函数都可以成为某个函数的导函数的，用集合和映射的观点来说，就是如果把全体函数的集合即为A，把求导作为从A到A的一个映射，那么这个映射一定不是满射。第二类间断点的特征是左右极限至少有一个不存在，但极限不存在有两种情况，极限是无穷大或极限不是无穷大也不存在，前者是无穷间断点，后者是震荡间断点。当x趋于0时1/x趋于无穷大，sin(1/x)就在x=0附近循环取值于闭区间[-1,1]，并且x距离0越近，循环就越快，这导致x趋于0的极限既不是无穷大（因为sin是有界函数）但也不存在。

追问

那所谓的震荡间断点就是x=0这一点吗

追答

对于sin1/x来说只有x=0是震荡间断点（这函数也没有别的间断点了），但是其它函数就不一定了，不一定都是x=0这点啊。