Question

如图，已知三角形ABC是圆O的内接三角形，AB=AC，点P是

Answer 1

解：（1）∵∠BPC=60°，
∴∠BAC=60°，
∵AB=AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
∴∠APC=∠ABC=60°，
而点P是AB‍ 的中点，
∴∠ACP=12‍   ∠ACB=30°，
∴∠PAC=90°，
∴tan∠PCA= PAAC‍  =tan30°= √33‍  ，
∴AC= √3‍PA；

（2）过A点作AD⊥BC交BC于D，连结OP交AB于E，如图，
∵AB=AC，
∴AD平分BC，
∴点O在AD上，
连结OB，则∠BOD=∠BAC，
∵∠BPC=∠BAC，
∴sin∠BOD=sin∠BPC= 2425‍  =BDOB‍  ，
设OB=25x，则BD=24x，
∴OD=√OB2−BD‍2  =7x，
在Rt△ABD中，AD=25x+7x=32x，BD=24x，
∴AB= √AD2+BD‍2 =40x，
∵点P是 AB‍的中点，
∴OP垂直平分AB，
∴AE=12‍   AB=20x，∠AEP=∠AEO=90°，
在Rt△AEO中，OE= √AO2−AE‍2 =15x，
∴PE=OP﹣OD=25x﹣15x=10x，
在Rt△APE中，tan∠PAE= PEAE =10x20x =12‍  ，
即tan∠PAB的值为 12‍