Question

四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD//BC,AB⊥AD,

且PA=2根号15,AD=2,AB=2根号3，BC=6.
（1）设E为PC上一点,求PE的长,使PC⊥平面EBD
（2）求AC与平面PDC所成的大小
急求！！！！！！！

Answer 1

（1）AD∥BC,AB⊥AD,
∴AB⊥BC,
PA⊥平面ABCD,
∴PB⊥BC,
PA=2√15,AD=2,AB=2√3，BC=6，
∴PB^2=PA^2+AB^2=72，PC^2=PB^2+BC^2=108，PC=6√3，
作BE⊥PC于E,连DE.则PE=PB^2/PC=4√3，
PD^2=PA^2+AD^2=64，PD=8，CD^2=AB^2+(BC-AD)^2=12+16=28，
由余弦定理，cosCPD=(108+64-28)/(96√3)=√3/2=PE/PD,
∴DE⊥PC,
∴PC⊥平面EBD.
(2)AC^2=AB^2+BC^2=48,AC=4√3，S△ADC=(1/2)AB*AD=2√3，S△PCD=(1/2)PC*PDsinCPD=(1/2)*6√3*8*1/2=12√3，
设A到平面PCD的距离为h,由V(A-PCD)=V(P-ACD)得
(1/3)S△PCD*h=(1/3)S△ACD*PA,
∴12√3h=2√3*2√15，h=√15/3，
∴AC与平面PDC所成角的余弦=h/AC=√5/12，
∴AC与平面PDC所成的角=arccos(√5/12).

追问

PE=PB^2/PC，是什么？

追答

PE=PB^2/PC=PB×PB÷PC,根据射影定理，可由三角形相似得到。