Question

求幂级数的收敛半径和收敛域

Answer 1

追问

求收敛域的时候 我能证出来x=3时发散 但x=-3的时候敛散性要怎么证明

追答

对，严格来说，收敛区域是 -3≤x<3。

至于x=-3时收敛，只要说明即可：
1、当x=-3时，本级数变成了一格正负交错级数(alternate series)；
2、由于该级数在|x|<3时，我们已经证明它是收敛级数，也就是说，
该级数符合收敛级数的一般特性；
3、当x=-3时，这个交错级数就是收敛级数。

类似的问题：
一个调和级数，是不收敛级数；
但是当它变成正负交替时，就收敛了。
原理完全一样。

若有疑问，请继续追问。
若满意，请采纳。谢谢。

追问

用莱布尼茨判敛法证明的话 x=-3时 an=3^n/3^n+(-2)^n 并不单减 a2就小于a3

追答

是的，但是这并不影响收敛。
因为正负值虽然在波动，但是绝对值却是越来越小，这种情况同样发生在交错的调和级数上。