Question

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已知奇函数f(x)的定义域是R,且f(x)=f(1-x),当0≤x≤1/2时，f(x)=x^2-x.
(1)求证：f(x)是周期为2的函数
(2)求函数f(x)在区间[1,2]上的解析式
(3)求函数f(x)的值域

Answer 1

f(x)=f(1-x),
那么f（x+1）=f（1-（1+x））=f（-x）
又f（x）是奇函数
所以f（-x）=-f（x）
所以f（x+1）=-f（1-x）=f（x-1）
f（x-1）=f（x-1+2）
用x替换x-1 f（x）=f（x+2）
所以f（x）是周期为2的函数

2）
在[1,2] 上的解析式根据其周期性，和在[-1,0]上的函数解析式一样
0≤x≤1/2时，f(x)=x^2-x
如果1/2<x<=1 那么1-x∈[0,1/2)
因为f(1-x)=f(x)所以
f（x）=（1-x）^2-(1-x)=x(1-x) (1/2<x<=1)
又f（x）是奇函数
所以当-1<=x<-1/2时
f（-x）=x(1-x) =-f(x)
f(x)=x(x-1)
-1/2<=x<0时，f(-x)=x^2-x=-f(x)
f(x)=-x^2+x
综上
在[-1,0]的解析式是
f（x）=-x^2+x x∈[-1/2,0]
f(x)=x(x-1) x∈[-1,-1/2]
这也就是在[1,2]的解析式
f(x)=-(x-2)^2+(x-2) x∈[3/2,2]
f(x)=(x-2)(x-3)x∈[1,3/2]
3)
对于值域只要在[-1,1]内求出即可
在1/2处最大是1/4
根据奇函数，最小就是-1/4