Question

已知抛物线y^2=4x的焦点为F，过焦点F的直线交于抛物线于A,B两点，且A在第一象限，

（1）求三角形OAB面积的最小值，（2）设抛物线的准线与X轴的交点为F1。问抛物线上是否存在一点M，使得M与F1关于直线l:y=x-1对称，若存在求出M坐标
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Answer 1

(1)
F(1,0)
AB过F点
设直线AB:x=my+1
设A(x1,y1),B(x2,y2)
x=my+1代入y^2=4x
得y^2-4my-4=0
△AOB面积
=1/2*OF*|y1-y2|
=1/2*√[(y1+y2)^2-4y1y2)]
=1/2*√(16m^2+16)
m=0时，16m^2+16有最小值
此时AB⊥x轴
∴△AOB面积最小值=1/2*√16=1/2*4=2
（2）
准线与X轴的交点为F1
F1(-1,0)
设M(x0,y0)
M与F1关于直线l:y=x-1对称
∴
(y0-0)/(x0+1)=-1
(y0+0)/2=(x0-1)/2-1
解得
x0=1
y0=-2
满足y0^2=4x0
∴M在抛物线上
∴M(1,-2)

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