Question

已知 AB=AC,且AB⊥AC,D在BC上,求证BD平方+CD平方=2AD

关于初二的勾股定理一章的

Answer 1

题目应该是BD平方+CD平方=2AD平方吧?
接下来我开始证明了,不过在证明中,我用^2表示平房,比如BD^2表示BD平方,CD^2表示CD平方,AD^2表示AD平方

证明:
若D为BC中点,则AD=BD=CD(因为△BAC为等腰直角三角形)
所以BD^2+CD^2=2AD^2

若D不是BC中点,过点D作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F
因为AB=AC,且AB⊥AC,所以∠B=∠C=45°
所以
直角△BED为等腰直角三角形且直角边BE=DE,
由勾股定理得,斜边BD^2=BE^2+DE^2=2DE^2
直角△CFD为等腰直角三角形且直角边CF=DF,
由勾股定理得,斜边CD^2=CF^2+DF^2=2DF^2
因为四边形AEDF为矩形,所以AF=DE
在直角△AFD中,
由勾股定理得,斜边AD^2=AF^2+DF^2=DE^2+DF^2
所以BD^2+CD^2=2DE^2+2DF^2=2(DE^2+DF^2)=2AD^2