Question

设函数f(x)=1/3x^3-x^2+ax,g(x)=2x+b,当x=1+根号2时,f(x)取极值，

（1）求a的值，并判断f(1+√2)是函数f(x)的极大值还是极小值
（2）当x∈[-3,4]时，函数f(x)与g(x)的图像有两个公共点，求b的取值范围

Answer 1

解：

(1)

f'(x)=x²-2x+a，

在x=1+√2取极值，则

f'(1+√2)=1+a=0,

所以a=-1,

在此点附近的邻域里，x<1+√2时,f'(x)<0,x>1+√2时,f'(x)>0,所以此点是极小值点。

(2)

f(x)=g(x),

(1/3)x³-x²-3x-b=0,

令h(x)=(1/3)x³-x²-3x-b,

则h'(x)=x²-2x-3=(x-3)(x+1),

在x=-1处是极大值，在x=3处是极小值，

所以如果想要满足题意，可以分3类讨论：

第一类：
h(3)<0,h(-1)=0,h(4)>0,
此时,无解；

第二类：
h(3)=0,h(-1)>0,h(-3)<0,
无解；

第三类：
h(3)<0,h(-1)>0,h(-3)h(4)>0,
解得-9<b<-20/3，

综上，b的范围是(-9,-20/3)，

谢谢！