Question

已知函数f(x)的定义域为(0,正无穷),且满足f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),又当

x大于y时,f(x)大于f(y).
(1)求f(1)，f(4)的值
(2)如果f(x)+f(x-3)小于等于2，求x的取值范围

Answer 1

1）令x=y=1，得F(1)=F(1)+F(1)，所以F(1)=0
2）不等式可化为 F(-X)+F(3-X)+2 ≥ 0
又 F(-X)+F(3-X)=F【-X(3-X)】，2=1+1=F(1/2)+F(1/2)=F(1/4)
所以不等式化为 F【-X(3-X)】+ F(1/4)>0
即 F【-X(3-X)/4】> F(1)
由对于0＜X＜Y,都有F(X)＞F(Y)，知F(x)为定义域上的减函数
所以 -X(3-X)/4 > 1 即 xx-3x-4>0，解得 -1<x<4
又 -x≥0 且 3-x≥0，
所以不等式的解为 -1<x≤0