Question

定积分∫(-π/2,π/2)(cos^4x+sin^3x)dx=

Answer 1

解：∵(cosx)^4是偶函数，(sinx)^3是奇函数
∴∫<-π/2,π/2>(cosx)^4dx=2∫<0,π/2>(cosx)^4dx
∫<-π/2,π/2>(sinx)^3dx=0
故 ∫<-π/2,π/2>((cosx)^4+(sinx)^3)dx
=∫<-π/2,π/2>(cosx)^4dx+∫<-π/2,π/2>(sinx)^3dx
=2∫<0,π/2>(cosx)^4
=(1/2)∫<0,π/2>[3/2+2cos(2x)+cos(4x)/2]dx (应用倍角公式)
=(1/2)[3x/2+sin(2x)+sin(4x)/8]│<0,π/2>
=(1/2)(3π/4)
=3π/8。

追问

2∫(cosx)^4

把这个再给我详细的写下可好，，，就是到这步卡住了，，，没换过来！

追答

(cosx)^4=(2(cosx)^2)^2/4
=(1+cos(2x))^2/4 (应用倍角公式)

=(1+2cos(2x)+(cos(2x))^2)/4 (应用完全平方公式)
=(1+2cos(2x)+(1+cos(4x))/2)/4 (应用倍角公式)
=(3/2+2cos(2x)+cos(4x)/2)/4
∴2∫(cosx)^4dx=2∫(3/2+2cos(2x)+cos(4x)/2)/4dx
=(1/2)∫(3/2+2cos(2x)+cos(4x)/2)dx

追问

你很厉害，，，希望能跟你认识一下，，我扣扣;一三九零九三零六一二，，，，希望能和你成为好友！！谢你了。

Answer 2

既然你知道(sinx)^3是奇函数，那么就等于积分第一项，用两次倍角公式不就行了？
(cosx)^2=1/2*cos2x+1/2

追问

倍角公式我越用变得越复杂了，，，所以。。。。。。

追答

因为积分域是周期的，对于高的倍角，积分是0，只有常数项不是0，看似麻烦其实不麻烦

Answer 3

∫(-π/2->π/2)(cosx)^4+(sinx)^3 ]dx
=∫(-π/2->π/2)(sinx)^3 dx
=2∫(0->π/2)(sinx)^3 dx
=-2∫(0->π/2)[1-(cosx)^2 ] dcosx
=-2[ cosx - (cosx)^3/3](0->π/2)
= 2( 1 -1/3)
= 4/3

追问

不对 sinX是奇函数吧

追答

g(x) = (cosx)^4
g(x) = g(-x)
∫(-π/2->π/2)(cosx)^4dx =0

f(x) = (sinx)^3
f(-x) = -f(x)
f(x)是奇函数

∫(-π/2->π/2)(sinx)^3 dx
=2∫(0->π/2)(sinx)^3 dx

追问

兄弟，，我举个例子吧，，f(x)=x是奇函数吧，
∫（-1,1）f(x)dx 你自己算下是多少（奇函数是关于原点对称的，积分面积一正一负，，而积分是是面积的相加）

追答

∫(-π/2->π/2)(cosx)^4+(sinx)^3 ]dx

=∫(-π/2->π/2)(cosx)^4dx

=2∫(0->π/2)(cosx)^4dx
=(1/2)∫(0->π/2)(1+cos2x)^2dx
=(1/2)∫(0->π/2)[1+2cos2x+ cos(2x)^2]dx
=(1/4)∫(0->π/2)[3+4cos2x+ cos(4x) ]dx
=(1/4)[3x+2sin2x+ sin(4x)/4 ](0->π/2)
=(1/4)(3π/2)
=3π/8