Question

已知：∠MAN＝120°，点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD两边CB、CD分别与直线AM、AN相

交于B、D, ∠BCD＝60°.（1）当B、D分别在射线AM、AN上时（如图1），线段AD、AB和AC的数量关系是 ;(2) 当B、D分别在射线AM、AN的反向延长线上时（如图2），求证：AB－AD＝AC（3）在（2）的条件下，取AC的中点E，连接BE，并延长交射线AN于点F(如图3)，若AC＝4，AD＝2，求AF的长.

Answer 1

(1)证明：作CF垂直于AD，垂足为F。 因为 CE垂直于AB，CF垂直于AD， 所以 角ECF+角MAN=180度， 因为 角BCD+角MAN=180度， 所以 角ECF=角BCD， 所以 角BCE=角DCF， 因为 点C在角MAN的平分线上，且CE垂直于AB，CF垂直于AD， 所以 CE=CF， 又因为 角BEC=角DFC=直角， 所以 三角形BCE全等于三角形DCF， 所以 BE=DF， 因为 CE=CF，AC=AC，角BEC=角DFC=直角， 所以 三角形ACE全等于三角形ACF， 所以 AE=AF， 因为 AE=AB--BE，AF=AD+DF，BE=DF， 所以 AB--AD=2BE。（2）AB、AD、BE之间满足的关系是：AD--AB=2BE，（3）因找不到角CBH，故无法完成，对不起了。

追答

(1)证明：作CF垂直于AD，垂足为F。 因为 CE垂直于AB，CF垂直于AD， 所以 角ECF+角MAN=180度， 因为 角BCD+角MAN=180度， 所以 角ECF=角BCD， 所以 角BCE=角DCF， 因为 点C在角MAN的平分线上，且CE垂直于AB，CF垂直于AD， 所以 CE=CF， 又因为 角BEC=角DFC=直角， 所以 三角形BCE全等于三角形DCF， 所以 BE=DF， 因为 CE=CF，AC=AC，角BEC=角DFC=直角， 所以 三角形ACE全等于三角形ACF， 所以 AE=AF， 因为 AE=AB--BE，AF=AD+DF，BE=DF， 所以 AB--AD=2BE。（2）AB、AD、BE之间满足的关系是：AD--AB=2BE，（3）因找不到角CBH，故无法完成，对不起了。