Question

数列的问题~~~~

求详解！！谢谢！！！

怕看不清题目，再打一遍！
题目是：
已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=-1/2，
a n+1=3/2an-bn，b n+1=an-bn。（n+1为下脚标）
（1）求{an}的递推公式。
（2）求an，bn。
（3）证明：b 2n+1＞b 2n-1 （2n+1，2n-1为下脚标）

Answer 1

第一问：a(n+1)=(1/2)a(n)+(1/2)a(n-1)
1) 根据题意：
a(n+1)=(3/2)a(n)-b(n) ...(a)
a(n)=(3/2)a(n-1)-b(n-1) ...(b)
b(n)=a(n-1)-b(n-1) ...(c)
(a)+(b)有a(n+1)+a(n)=(3/2)a(n)+(3/2)a(n-1)-b(n)-b(n-1)
根据(c)有b(n)+b(n-1)=a(n-1)，于是a(n+1)+a(n)=(3/2)a(n)+(3/2)a(n-1)-a(n-1)，整理得a(n+1)=(1/2)a(n)+(1/2)a(n-1)，即为{a(n)}的递推关系式

第二问：a(n)=(5/3) - (2/3)*(-1/2)^(n-1)，b(n)=(5/6) + (8/3)*(-1/2)^n
2) 根据递推关系式计算a(2)=2，b(2)=3/2
3) 由a(n+1)=(1/2)a(n)+(1/2)a(n-1)有a(n+1)+(1/2)a(n)=a(n)+(1/2)a(n-1)，令c(n)=a(n)+(1/2)a(n-1)（n>=2）于是c(n+1)=c(n)，即c(n)（n>=2）是常数5/2，即a(n)+(1/2)a(n-1)=5/2（n>=2）
4) 由a(n)+(1/2)a(n-1)=5/2（n>=2）有a(n)-(5/3)=-(1/2)[a(n-1)-(5/3)]，令d(n)=a(n)-(5/3)（n>=1），于是d(n)是等比数列，又d(1)=-2/3，所以d(n)=-(2/3)*(-1/2)^(n-1)，从而a(n)=(5/3) - (2/3)*(-1/2)^(n-1)
5) 根据4)的结论，b(n)=(3/2)a(n)-a(n+1)=(3/2)*[(5/3) - (2/3)*(-1/2)^(n-1)]-[(5/3) - (2/3)*(-1/2)^n]=(5/6) + (8/3)*(-1/2)^n

第三问：
6) b(2n+1)=(5/6) + (8/3)*(-1/2)^(2n+1)，b(2n-1)=(5/6) + (8/3)*(-1/2)^(2n-1)
于是b(2n+1) - b(2n-1) = (8/3)*(-1/2)^(2n+1) - (8/3)*(-1/2)^(2n-1)=4*(-1/2)^(2n) > 0
即 b(2n+1) > b(2n-1)