Question

两道高中数学问题

1、如何证明直角三角形的内切圆的半径为1/2（a+b-c)?
2、B地在A地的正东方向4千米处，C地在B地的北偏东45度的2倍根号2千米处，有一直线形的马路L过C地且与线段BC垂直，现欲修在马路L造一车站P每千米费用5万元，求修筑PA、PB的最低费用。

Answer 1

1、设直角三角形ABC中，∠C为直角，O为内切圆的圆心，r为内切圆的半径。过点O作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥CA于F，则OD=OE=OF=r
OD=OF，OA=OA，∠ODA=∠OFA=π/2,故△ODA≌△OFA，DA＝FA.
同理可证 DB=EB, EC=FC
1/2(a+b-c)=1/2(EB+EC+CF+FA-AD-DB)=EC
由于∠C为直角，OE⊥BC，OF⊥CA，OE=OF=r
故OECF为正方形，EC=OF=r
于是r=1/2(a+b-c)

注：本题必须设∠C为直角，才有r=1/2(a+b-c)

2、以B为原点，x轴向东，y轴向北建立直角坐标系，则
A(-4,0),B(0,0),C(2,2),L: x+y=4
设D(4,4),则L为线段BD的垂直平分线
P在L上，故PB=PD
PA+PB=PA+PD≥AD=2*根号5
当P为AD与L的交点(4/3,8/3)时, PA+PB取最小值2*根号5，修筑PA、PB的最低费用为5*2*根号5=10*根号5(万元)

Answer 2

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