Question

∫1/sinxcos∧3xdx的不定积分

Answer 1

令u=cosx

du = -sinx dx

(sinx)^2 = 1-u^2

∫1/ [ sinx (cosx)^3] dx = ∫ -1/ [ (1-u^2)u^3]du

因为 -1/ [ (1-u^2)u^3 = - u/(1 - u^2) - 1/u^3 - 1/u

所以 ∫1/ [ sinx (cosx)^3] dx = (1/2) ln(1-u^2) + 1/(2u^2) - ln|u| +C

= ln |tanx| +1/[2(cosx)^2] + C

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分。

若在有限区间[a，b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

扩展资料：

求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。

分部积分法的实质是：将所求积分化为两个积分之差，积分容易者先积分。实际上是两次积分。

有理函数分为整式（即多项式）和分式（即两个多项式的商），分式分为真分式和假分式，而假分式经过多项式除法可以转化成一个整式和一个真分式的和．可见问题转化为计算真分式的积分．

可以证明，任何真分式总能分解为部分分式之和。

参考资料来源：百度百科——不定积分

Answer 2

u=cosx
du = -sinx dx
(sinx)^2 = 1-u^2

∫1/ [ sinx (cosx)^3] dx = ∫ -1/ [ (1-u^2)u^3]du
因为 -1/ [ (1-u^2)u^3 = - u/(1 - u^2) - 1/u^3 - 1/u
所以 ∫1/ [ sinx (cosx)^3] dx = (1/2) ln(1-u^2) + 1/(2u^2) - ln|u| +C
= ln |tanx| +1/[2(cosx)^2] + C