Question

1.在△ABC中，AB=13，BC=10，BC边上中线AD=12.求AC？

1.在△ABC中，AB=13，BC=10，BC边上中线AD=12.求AC？
2.等边△ABC中，点D,E分别在BC,AC上，且BD=1/3BC,CE=1/3CA,AD,BE交于点P, 求证：AP⊥CP

Answer 1

1.解：
∵AB=13
BD=5,AD=12,
∴△ABD为直角三角形，
∴AD⊥BC
Rt△ACD中，
AD=12,CD=5
∴AC=13

2.证明：取AB上一点F，使3AF=AB
令BE与CF交于M,AD与CF交于N。
∠PNM=∠PAC+∠FCA=∠PAC+∠BAD=∠BAC=60度。
过F作FG//AC交BE于G，
则GM/ME=FM/MC=FG/EC=FG/[(1/2)AE]=4/3，
又FG/AE=BG/BE=2/3,
所以BM/ME=[2+(4/7)]/[1-(4/7)]=6，
即BM=6ME。
又BP/PE=MC/MF=3/4,
所以BP:PM:ME=3:3:1，
根据图形的对称性，得CM:MN:NF=3:3:1，
且MN=PN，
所以PN:NC=3:(3+3)=1:2，
又∠PNC=60度，
所以∠APC=90度。
即AP⊥PC