Question

已知两个自然数的和是60，它们的最大公约数和最小公倍数之和为身84，求这两个数？

60=2×2×3×5
84=2×2×3×7
最大公约数:2×2×3=12
最小公倍数:84-12=72

Answer 1

设这两个自然数的最大公约数为x，则最小公倍数为84-x
并设这两个自然数分别为mx和nx，其中m和n互质
则mx+nx=60
(m+n)x=60
另外根据最大公约数和最小公倍数的性质
x(84-x)=mx*nx
84x-x^2=mnx^2
(mn+1)x=84
所以x是60和84的公约数
则x=1或2或3或4或6或12
当x=1时，mn=83，因为83是质数，则m+n=83+1=84≠60=60/1，故舍去
当x=2时，mn=41，因为41是质数，则m+n=41+1=42≠30=60/2，故舍去
当x=3时，mn=27，m+n=20，因为27=1×3×3×3，故舍去
当x=4时，mn=21，m+n=15，因为21=1×3×7，故舍去
当x=6时，mn=17，因为17是质数，则m+n=17+1=18≠10=60/6，故舍去
当x=12时，mn=6，m+n=5，则m=3 n=2，mx=36 nx=24
所以这两个自然数分别为36和24

Answer 2

24和36啊