Question

数学微积分一道题求解

讲一下大致思路也可以，我用计算器算过，答案是1，就是求一下大致的计算思路或者方法

Answer 1

(arcsiny)'=(1-y^2)^(-1/2)这个容易展开，然后积分得到arcsiny的展开式
(arctany)'=1/1+x^2这个更容易展开了，参考∑x^n=1/1-x,然后积分得到arctany的展开式
然后分子分母都可以展开了，不算了太繁琐..软件展开如下.
Series expansion sintanx-tansinx=-x^7/30-29x^9/756+o(x^9)
Series expansion arcsinarctanx-arctanarcsinx=-x^7/30+13x^9/756+o(x^9)
极限为1
希望有帮助`````````````

追问

展开是什么意思？求麦克劳伦级数吗

追答

额就是泰勒展开式
忘记是泰勒的哪一个展开了
反正有一个高阶无穷小
然后
因为趋近于0
所以越高阶越可以忽略
只要最低阶一项就好``````````````````````````

Answer 2

极限是为0，因为在x->0+和x->0-这两种情况下，该式的分子均趋近于0，分母均为非零数。你只需证明在该点极限存在，然后用夹逼准则来证明其极限为0.为什么要用夹逼准则呢？因为sin(无穷大)是不能确定它的值的，所以需要对其进行一下放缩。这时候就得用到夹逼准则，不然就不大好办。
在下能力有限，如回答有不妥之处，欢迎大家批评指正！

追问

貌似当X趋近于0，分子和分母都趋近于0

追答

如果是这样的话我建议用柯西中值定理来解。分子构造成F(X)=f(g(x))-g(f(x))的形式。F(0)=0.
分母也同样构造成这种形式G(x)。但是分母的式子在x=0处无定义，不妨自己定义G（x）=0.然后通过求它分子分母的导数来求极限。