Question

设y=f(x)是R上的奇函数,且当x∈R是,都有f(x+2)=-f(x)

设y=f(x)是R上的奇函数,且当x∈R是,都有f(x+2)=-f(x)
(1)试证明f(x)是周期函数，并求周期。
(2)试证x=1是函数y=f(x)图像的对称轴。
(3)若当-1≤x≤1时，f(x)=sinx,试写出当x∈[1,5]时，f(x)的解析式；
(4)对于第（3）小题中的f(x),若集合A=｛x| |f(x)|>a,x∈R}是非空集合，求a的取值范围。

注：（1）、（2）已求出（周期为4）。只要答后两问即可，谢谢。

Answer 1

3:因为x=1是对称轴，因此1<=x<=3时，y=sin（2-x）因为周期为4，所以3<=x<=5时，y=sin（x-4)
由上面即得3问答案
4由题意，要求y的最大值。因为当a大于y的最大值时，A为空集，故a的最大值即为y的最大值
而y为周期函数，其最大值等于一个周期上的最大值
由单调性很容易得到y的最大值为sin1
故a取值范围（负无穷，sin1]

Answer 2

（1）f(x+4)=-f(x+2)=f(x)
故f(x)为周期函数，周期为4

（2）记t=x+1,因f(x+2)=-f(x),有f(t+1)=-f(t-1)
又f(x)为奇函数
-f(t-1)=f(1-t)
即f(1+t)=f(1-t)
故x=1是函数y=f(x)图像的对称轴

3:因为x=1是对称轴，因此1<=x<=3时，y=sin（2-x）因为周期为4，所以3<=x<=5时，y=sin（x-4)
由上面即得3问答案

4由题意，要求y的最大值。因为当a大于y的最大值时，A为空集，故a的最大值即为y的最大值
而y为周期函数，其最大值等于一个周期上的最大值
由单调性很容易得到y的最大值为sin1
故a取值范围（负无穷，sin1]