Question

八年级数学竞赛题

Answer 1

1.设1995X立方=1996Y立方=1997Z立方，XYZ＞0，
且（1995X平方+1996Y平方+1997Z平方）的立方根=1995的立方根+1996的立方根+1997的立方根，求1/X+1/Y+1/Z的值。
答：XYZ大于0，说明三者全大于0或者三者之一大于0，由前一条件可知三者之一大于0，三者之二小于0是不行的，只能是三者全大于0.令1995X立方＝1996Y立方＝1997Z立方＝K，则（1995X平方+1996Y平方+1997Z平方）的立方根＝K（1/X+1/Y+1/Z)的立方根＝K的立方根*（1/X+1/Y+1/Z)的立方根
1995的立方根+1996的立方根+1997的立方根＝（K/X^3）的立方根+（K/Y^3）的立方根+（K/Z^3)的立方根＝K的立方根*（1/X+1/Y+1/Z),
则（1/X+1/Y+1/Z)的立方根=(1/X+1/Y+1/Z)，则（1/X+1/Y+1/Z)=1或-1，-1舍去，即（1/X+1/Y+1/Z)=1
2.已知：
6/((n+1)(n+2)(n+3)(n+3))=(a/(n+1))+(b/(n+2))(c/(n+3))(d/(n+4))
其中a,b,c,d是常数，则a+2b+3c+4d的值为___________.

答：6/[(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]
=6/{[(n+1)(n+4)][(n+2)(n+3)]}
=6/[(n的平方+5n+4)(n的平方+5n+6)
=3/(n的平方+5n+4) - 3/(n的平方+5n+6)
=3/[(n+1)(n+4)] - 3/[(n+2)(n+3)]
=[1/(n+1) - 1/(n+4)]-[3/(n+2) - 3/(n+3)]
=1/(n+1)+(-3)/(n+2)+3/(n+3)+(-1)/(n+4)
所以：a=1 b=-3 c=3 d=-1
所以：a+2b+3c+4d=1+2*(-3)+3*3+4*(-1)=0
3.已知下面等式对任意实数x都成立（n为正整数）：
(1+x)+(1+x)^2+(1+x)^3…+(1+x)^n=a0+a1x+a2(x^2)…an(x^n)
且a1+a2+a3…+an=57,则满足条件的n的可能值为______.

"^"表示乘方，后面的数是指数
等式右边的0，1，2…n都是下标
答：解：
（1）设x=0
则有：(1+0)+(1+0)^2+(1+0)^3+………+(1+0)^n= a0+ a1（0）+ a2（0^2）+ a3（063）+………+ an（0^n）
既：1+1+1+1+1+1+………+1（n个1）= a0+0
得 n = a0
（2）设x=1
则有：(1+1)+(1+1)^2+(1+1)^3+(1+1)^4+………+(1+1)^n=a0+a1（1）+a2（1^2）+a3（1^3）+………+an（1^n）
既：2+2^2+2^3+………+2^n= a0+a1+a2+a3+………+an
=2+2^2+2^3+………+2^n= n+57
=2+2^2+2^3+………+2^n－57= n
（2+2^2+2^3+………+2^n应是有公式的，但偶不知道，只好用假设n的值来求，请谅解！）

(3)设n=6
则有：2+ 2^2+2^3+2^4+2^5+2^6－57=n
=2+4+8+16+32+64－57= n
=126－57= n n=69 与n=6矛盾
∴n＞6
设n=5
则有：2+ 2^2+263+2^4+2^5－57= n
=2+4+8+16+32－57= n
=62－57= n n=5 ∴n=5成立
∴n=5
4.

Answer 2

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Answer 3

2008年《数学周报》杯全国初中数学竞赛标准答案：
存在满足条件的三角形
当
△ABC
的三边长分别为
a＝6，b＝4，c＝5时，∠A＝2∠B
如图，当∠A＝2∠B时，延长BA至点D，使AD＝AC＝b，连结CD，则△ACD为等腰三角形
∵∠BAC为△ACD的一个外角，∴∠BAC＝2∠D
由已知∠BAC＝2∠B，则∠B＝∠D
∴△CBD为等腰三角形
又∠D为△ACD与△CBD
的一个公共角，∴△ACD∽△CBD
于是AD/CD＝CD/BD，即b/a＝a/(b＋c)
∴a²＝b(b＋c)
∵6²＝4(4＋5)，∴此三角形满足题设条件
故存在满足条件的三角形
说明：满足条件的三角形不是唯一的
若∠A＝2∠B，得a²＝b(b＋c)，有以下三种情形：
（1）当a＞c＞b时，设a＝n＋1，c＝n，b＝n－1（n为大于1的正整数）
代入a²＝b(b＋c)，得(n＋1)²＝(n－1)(2n－1)
解得n＝5
∴a＝6，b＝4，c＝5
（2）当c＞a＞b时，设c＝n＋1，a＝n，b＝n－1（n为大于1的正整数）
代入a²＝b(b＋c)，得n²＝2n(n－1)
解得n＝2
∴a＝2，b＝1，c＝3，此时不能构成三角形
（3）当a＞b＞c时，设a＝n＋1，b＝n，c＝n－1（n为大于1的正整数）
代入a²＝b(b＋c)，得(n＋1)²＝n(2n－1)
即n²－3n－1＝0，此方程无整数解
所以，三边长恰为三个连续的整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的三角形存在，而且只有三边长分别为4、5、6构成的三角形满足条件

Answer 4

连接BD交AC于O，设AC、BP交于E，则O为AC、BD的中点，得S△OAD=S△OAB即S△APE+S△PEO+S△POD+S△PAD=S△BEA+S△BEO。设S△PEA=X，S△PEO=Y，S△OEB=a,则S△AEB=5-X，S△OBP=Y+a=S△OBD，得X+Y+Y+a+2=5-x+a,得2X+2Y=3，∴S△ACP=2S△AOP=2（X+Y）=3。

Answer 5

18+19+21+23+25+34=140
140-23=117
(1+1+7=9，可以被3整除)
117/3=39=18+21
39x2=78=19+25+34
带裂纹的球的个数是23