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2009年全国高中数学联赛江西省预赛试题以及答案。谢谢了！

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Answer 1

2009年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答 免费直接下载 http://math.lz2004.com/a/shuxuejingsai/2009/1123/87.html 一、填空题（共题，每题10分，计分） 1、某人在将 中间的两个数码 分别换成两位数 与时，恰好都得到完全平方数： ，则数组 解：注意到，对于整数 ，若 的末位数为 ，则 的末位数必为 或 ，易知 ，（）， ，因此 ，于是，若要 满足条件，只可能是， ，由于 ，， 所以， ． 2、若一个椭圆的焦点和顶点分别是双曲线 的顶点和焦点，则椭圆的方程为： 解：双曲线的两顶点为 ，两焦点为 ，故由条件，椭圆的两焦点为 ， 两顶点为 ，因此， ， ，则椭圆的方程为 ． 3、实数 满足 ，则 的最大值是 。 解：令 ，则 ，由 ，得， 因 为实数，则判别式 ，得． 4、四面体 中， ，平面 与平面 成 的二面角，则点 到平面 的距离为 ． 解： ，作 平面 ，垂足为 ，连 ，由三垂线逆定理， ，所以 ，故， ，又因 为正方形， ，则 ，因此正三角形 的面积为 ，设 到平面 的距离为 ，由 ，得 5、从集合 中，去掉所有 的倍数以及 的倍数后，则剩下的元素个数为 ． 解：集合 中， 的倍数有 个， 的倍数有 个， 的倍数有 个，则剩下的元素个数为 个． 、函数 的值域是 ． 解： ，令 ，则 ，由此， ， 当 时两边分别取得等号． 、． 解：原式 ． （注：由 ，则 ，即．） 、九个连续正整数自小到大排成一个数列 ，若 为一平方数， 为一立方数，则这九个正整数之和的最小值是 ． 解：设这九数为 ，则有， ，， ，则 ，得 ………① 令，得 ，所以 ，再取 ， ，化为 ，取 ，可使左式成立， 这时， ，． 二、解答题（共题，合计 分） 、（20分）给定 轴上的一点 （），对于曲线 上的动点 ，试求 两点之间距离 的最小值（用 表示）． 解：如图，易求得曲线上诸点的坐标为： ， 当，即时，曲线方程为 ………①； 而当 时，曲线方程为 ………②， 对于情形①，即时，显然当 位于顶点 处时，距离 取得最小值 ；………5分 对于情形②，即在 或时，设点 ，由于 ，因 ，则，， 于是，当时， 取得最小值 ； …………15分 再比较 与 ：令， 则当 时， ， ，即最小值为 ； 而当 时， ，则最小值 ． …………20分 、（分）在一个圆中任取三条互不相交的弦，以其中每两条弦为一组对边，各得到一个凸四边形，设这三个四边形的对角线的交点分别为 ； 证明： 三点共线． 证：如图，设 为三条不相交的弦，其中 ，， ，又设 ，点截 的三边，据梅涅劳斯逆定理， 只要证 ……①， …………5分 用记号 表示三角形面积，则由 ……② ……③ 由此得 ，因此只要证， ……④， …………15分 注意， ，则 ， 所以，即④成立，从而①成立，故结论得证． …………25分 、（25分） 项正整数列 的各项之和为 ，如果这 个数既可分为和相等的 个组，又可分为和相等的 个组，求 的最小值． 解：设分成的 个组为 ，每组中的各数和皆为 ，称这种组为 类组；而分成的 个组为 ，每组中的各数和皆为 ，称这种组为 类组． …………5分 显然，每个项 恰好属于一个 类组和一个 类组，即同类组之间没有公共项，如果两个组 中有两个公共项 ，则可以将这两个数合并为一个项 ，这样可使 值减少，故不妨设，每对 至多有一个公共项． 今用点 分别表示 ，而点 表示组 ，如果组 有公共项，则在相应的点 之间连一条边，于是得二部图 ，它恰有 条边和 个顶点． …………10分 下面证明 是连通图． 如果图 的最大连通分支为 ，其顶点数少于 ，设在分支 中，有个 类顶点 和个 类顶点 ，其中 ，则在相应的 类组 和 类组 中， 类组 中的每个数 都要在某个 类组 中出现；而 类组 中的每个数 也都要在某个 类组 中出现，（否则将有边与分支外的顶点连接，发生矛盾），因此 个 类组 中各数的和应等于 个 类组 中各数的和，即有 ，由此得 ， ，所以 ，矛盾！因此 是连通图．于是图 至少有 条边，即； …………20分 另一方面，我们可实际构造一个具有 项的数列 ，满足本题条件．例如取 ，，（该数列有 个取值为 的项； 个取值为 的项；另将其余七个 拆成七对，其中四对 ，两对 ，一对 ，又得到 个项），于是，每个 类组可由一个 ，一个 ，或者由一个 ，添加一对和为 的项组成；这样共得 个 类组，每组各数的和皆为 ；为了获得和为 的个 类组，可使 各成一组，其余的数可以拼成八个 类组： 的组四个， 的组两个， 的组一个， 的组一个．故 的最小值为 ．…25分

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