Question

已知函数f(x)=e^x－ln(x+1)－1(x≥0) (1)求函数f(x)的最小值(2)若0≤y＜x,求证：e^x-y－1＞ln(x+1)－ln(y+

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(2)若0≤y＜x,求证：e^x－y－1＞ln(x+1)－ln(y+1).

Answer 1

证明: (1)因为f(x)=e^x－ln(x+1)－1
所以f'(x)=e^x－1/(x+1)
又因为x≥0
所以e^x≥1且0<1/(x+1)≤1
因此f'(x)=e^x－1/(x+1)≥0
故函数f(x)=e^x－ln(x+1)－1在[0，+∞)上单调递增
所以当x=0是函数f(x)取最小值
且最小值为f(0)=e^0－ln(0+1)－1=0
(2)因为由(1)可知函数f(x)=e^x－ln(x+1)－1在[0，+∞)上单调递增
所以由0≤y＜x可得f(x)>f(y)
即 e^x－ln(x+1)－1>e^y－ln(y+1)－1 (I)
令函数g(y)=e^y-y-1
则 g'(y)=e^y-1
因为0≤y, 所以e^y)≥1
因此g'(y)=e^y-1≥0
于是函数g(y)=e^y-y-1在[0，+∞)上也单调递增
所以g(y)≥g(0), 即e^y-y-1≥e^0-0-1=0
因此e^y-1≥y (II)
所以结合(I)和(II)可得
e^x－ln(x+1)－1>e^y－ln(y+1)－1≥y-ln(y+1)
移项整理得
e^x－y－1＞ln(x+1)－ln(y+1).