证明lim(1/x+1)^x当x趋于无穷时存在极限
我知道极限等于e，不管极限等于多少只要证明它存在就行像tllau38那样的把L=lim(x->∞)(1+1/x)^x要证明的结果，这样假设设起来的就别写了，这样毫无疑问是...
我知道极限等于e，不管极限等于多少只要证明它存在就行
像tllau38那样的把L=lim(x->∞) (1+ 1/x)^x 要证明的结果，这样假设设起来的就别写了，这样毫无疑问是错的 展开
像tllau38那样的把L=lim(x->∞) (1+ 1/x)^x 要证明的结果，这样假设设起来的就别写了，这样毫无疑问是错的 展开
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你看这样行不行啊，要用到级数的知识。
在-1<t<=1时，ln(1+t)=t-t^2/2+t^3/3+.........
设p(t)=(1+t)^(1/t)
lnp(t)=ln(1+t)/t=1-t/2+t^2/3+.....
所以t->0+的时候，1-t/2<lnp(t)<1
因为lim(t->0+) (1-t/2)=1
所以，根据夹逼定理，lim(t->0+) lnp(t)=1
所以lim(t->0+) p(t)=lim(t->0) (1+t)^(1/t)=e
所以lim(x->+∞) (1/x+1)^x=e
至于lim(x->-∞) (1/x+1)^x=e
可以求lim(t->0+) (1-t)^(1/t)的极限
跟上面的过程一致。
最后得出lim(x->∞) (1/x+1)^x=e
这个方法，并没有事先假设lim(x->∞) (1/x+1)^x的存在，而是真正的夹逼出来的。
在-1<t<=1时，ln(1+t)=t-t^2/2+t^3/3+.........
设p(t)=(1+t)^(1/t)
lnp(t)=ln(1+t)/t=1-t/2+t^2/3+.....
所以t->0+的时候，1-t/2<lnp(t)<1
因为lim(t->0+) (1-t/2)=1
所以，根据夹逼定理，lim(t->0+) lnp(t)=1
所以lim(t->0+) p(t)=lim(t->0) (1+t)^(1/t)=e
所以lim(x->+∞) (1/x+1)^x=e
至于lim(x->-∞) (1/x+1)^x=e
可以求lim(t->0+) (1-t)^(1/t)的极限
跟上面的过程一致。
最后得出lim(x->∞) (1/x+1)^x=e
这个方法，并没有事先假设lim(x->∞) (1/x+1)^x的存在，而是真正的夹逼出来的。
更多追问追答
追问
我觉得吧只要在证明前出现跟e有关的都是错的，对数ln里面要用到e，也就是说在证明前就用了lim(x->∞) (1+ 1/x)^x=e的结论
追答
没有啊，加个ln是恒等变形。
然后lnp(t)的极限求出来了。
那么p(t)的极限，等于e^(lnp(t))的极限，这是极限的基本性质。
你如果不用ln的话，你可以这么弄，用lg可以把。
先求出lgp(t)的极限。然后limp(t)=10^(lim (lgp(t))
你如果看懂了，都是恒等变形，并没有事先假设极限是e，
而且在很多求极限的时候，都会用到先加个ln，然后求出极限。
但是求出来的极限可能跟e一点关系都没有。
比如lim lnp(t)=ln2
那么原极限=e^(ln2)=2
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