Question

数学在线答疑

在三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知sinA+sinC=P sinB（p属于R），且ac=1/4b²，若B为锐角，求实数P的取值范围。

Answer 1

由题设并利用正弦定理得:
sinA+sinC=PsinB
sinA+sinC=PsinB
a+c=pb
a+c=5/4
ac=1/4
所以a，c为方程x^2-5x/4+1/4=0的两根，
x^2-5x/4+1/4=0
(x-1)(x-1/4)=0
x=1或x=1/4
即a=1，c=1/4或a=1/4，c=1

设p＞0，
由余弦定理得
b^2=a^2+c^2-2accosB
=a^2+c^2+2ac-2ac-2accosB
=(a+c)^2-2ac-2accosB
=p^2b^2-b^2cosB/2-b^2/2
b^2=p^2b^2-b^2cosB/2-b^2/2
p^2-cosB/2-1/2=1
p^2=3/2+cosB/2，
因为0＜cosB＜1，
所以p^2∈（3/2，2），
由题设知p＞0，
所以√6/2＜p＜√2