Question

设A矩阵=（1,0,-1）(1)求A的特征值与相应的特征向量

设A矩阵=（1,0,-1）,（0,1,0）,(-1,0,1),(1)求A的特征值与相应的特征向量（2）求一个正交矩阵Q，使得（Q^T）AQ为对角阵（3）求A^100

Answer 1

(1)设特征值为x,则当|xI-A|=0时|x-1 0 1, 0 x-1 0, 1 0 x-1|=x*(x-1)*(x-2)=0.所以特征值为x1=0,x2=1,x3=2,
当x1=0时，基础解系为a1=(1,0,1)^T，所以k1(1,0,1)^T为A属于x1=0的全部特征向量。
当x1=1时，基础解系为a2(0,1,0)^T，所以k2(0,1,0)^T为A属于x1=1的全部特征向量。
当x1=2时，基础解系为a3=(1,0,-1)^T，所以k3(1,0,-1)^T为A属于x1=2的全部特征向量。

(2)所以单位化后Q=(1/√2*a1 a2 1/√2*a3)

(3)设B=(0 0 0， 0 1 0， 0 0 2),C=(a1 a2 a3)所以A=C*B*(C^(-1)) 所以A^100=C*(B^100)*(C^(-1))=(0 0 0, 0 1 0, -2^99 0 2^99)

Answer 2

题目错误，矩阵A线性相关，特征向量有0向量，与定义矛盾

追问

不可能。。。题目肯定对的