Question

在平面直角坐标系xOy，已知抛物线y=x2-2mx+m2-9．

在平面直角坐标系xOy，已知抛物线y=x2-2mx+m2-9．
(1)求证：无论m为何值，该抛物线与x轴总有两个交点；
(2)该抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，且OA＜OB，与y轴的交点坐标为（O，-5），求此抛物线的解析式；
(3)在(2)的条件下，抛物线的对称轴与x轴的交点为N，若点M是线段AN上的任意一点，过点M作直线MC⊥x轴，交抛物线于点C，记点C关于抛物线对称轴的对称点为D，点P是线段MC上一点，且满足MP=MC，连结CD,PD，作PE⊥PD交x轴与点E,问是否存在这样的点E，使得PE=PD，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

1）对于 y=x²-2mx+m²-9

当x²-2mx+m²-9=0时
⊿=4m²-4(m²-9)=36＞0
所以x²-2mx+m²-9=0有两个不同实数根。所以抛物线与x轴总有两个交点

2）当x=0时 y=-5 代入y=x²-2mx+m²-9
得 -5=m²-9 m²=4 m=±2
a)当m=2时 y=x²-2mx+m²-9=x²-4x-5=(x-5)(x+1)
x1=5 x2=-1
则A点坐标为(-1,0) B点坐标为(5，0) OA＜OB 符合题意
抛物线的解析式y=x²-4x-5
b)当m=-2时 y=x²-2mx+m²-9=x²+4x-5=(x+5)(x-1)
x1=-5 x2=1
则A点坐标为(-5,0) B点坐标为(1，0) OA＞OB 不符合题意舍去

3) 有错吧? 是不是 MP=PC

追问

是MP=MC

追答

如果点P是线段MC上一点，那么就不可能MP=MC

除非点P是直线MC上一点，或者 MP=PC

按点P是直线MC上一点，或者 MP=PC

抛物线的解析式y=x²-4x-5=(y-2)²-9
则对称轴为 x=2
设M点坐标为（a,0) (-1＜a＜2)
代入抛物线的解析式y=x²-4x-5
y=a²-4a-5
C点的坐标为（a, a²-4a-5)
MN=2-a
因为D是C 关于抛物线对称轴的对称点

则D点的坐标为[a+2(2-a), a²-4a-5]
(4-a, a²-4a-5)
CD=2*MN=4-2a
MC=|a²-4a-5|=-(a²-4a-5)=-a²+4a+5
因为MP=MC=-a²+4a+5
PE⊥PD
则角CPD+角EPM=90º=角CPD+角PDC
角EPM=角PDC
又MP=PC
RT三角形PCD≌RT三角形PEM
MP=CD (1) ME=PC (2)
由（1）得
1/2(-a²+4a+5)=4-2a
-a²+4a+5=8-4a
a²-8a+3=0
(a-4)²=13
a1=4+根号13 因为a＜2 所以不合题意，舍去）
a2=4-根号13
M点坐标为（4-根号13， 0）
MO=4-根号13
由（2）得
ME=PC=2*(-a²+4a+5)=-2(a-2)²+18
把a2=4-根号13代入得
ME=-2(4-根号13-2)²+18
=-2(2-根号13)²+18
=-2*(4-4*根号13+13)+18
=8*根号13-16
OE=ME-MO=8*根号13-16-(4-根号13)=9*根号13-20
因为E点在X轴的右侧
E点坐标为（20-9根号13， 0）