Question

在四面体P-ABC中，PC垂直平面ABC，AB=BC=CA=PC，求二面角B-AP-C的余弦值

Answer 1

设AB=BC=CA=PC= a.
知平面PAC垂直于平面ABC.(过平面的垂线的平面,垂直于这平面)
取AC的中点D连接BD, PD.
知BD垂直于AC.(两平面垂直,则一平面内,垂直于交线的直线,垂直于另一平面)
故D为B点在平面PAC的投影. 而三角形PAD为三角形PAB在平面PAC的投影.
三角形PAD的面积为:S = (1/2)*1*1*(1/2) a^2=(a^2)/4. (1)
三角形PAB中,PA = PB = (根号2)a, AB =a.
由余弦定理,求得cos角APB= [2+2-1]/[2*2]= 3/4.
从而sin角APB = (根号7)/4.
即可求得三角形PAB的面积A=(a^2)(1/2)*(根号2)(根号2)*(根号7)/4 (2)
= (a^2)(根号7)/4
设:二面角B-AP-C为α,
由投影定理:A*cosα = S.
故：cosα = S/A =(1/4)/[(根号7/4] =1/根号7 = (根号7)/7.
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