Question

线性代数，矩阵可逆证明

Answer 1

A^m=0
那么
E-A^m=E
即(E-A)(E+A+A^2+A^3+……+A^m-1)=E

而矩阵可逆的定义是：
在线性代数中，给定一个n阶方阵A，
若存在一n阶方阵B使得AB=BA=E（或AB=E、BA=E任满足一个），其中E为n阶单位矩阵，则称A是可逆的，且B是A的逆阵，记作A^(-1)。

所以显然E-A是可逆的，
其逆矩阵就是E+A+A^2+A^3+……+A^m-1

追问

E-A^m=E
?
即(E-A)(E+A+A^2+A^3+……+A^m-1)=E

追答

这个数学公式不知道么？
a^n -b^n
=(a-b)(a^n-1 +a^n-2 *b+ ……+ a *b^n-2 +b^n-1)
那么在这里，
E-A^m
=E^m -A^m
=(E-A)(E^m-1 +E^m-2 *A+ ……+ E *A^m-2 +A^m-1)
=(E-A)(E+A+A^2+A^3+……+A^m-1)

当然就得到了
(E-A)(E+A+A^2+A^3+……+A^m-1)=E