Question

已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,且an=2√Sn -1，n属于N*，数列b1,b

2-b1,b3-b2......bn-bn-1是首项和公比均为1/2的等比数列 一、求证数列{√Sn}是等差数列。 二、若Cn=anbn，求数列{an}的前n项和Tn

Answer 1

1.an=2√Sn -1，
n=1时a1=2√a1-1,
(√a1-1)^2=0,a1=1=S1.
n>1时Sn-S<n-1>=2√Sn-1,
(√Sn-1)^2=S<n-1>,数列{an}的各项均为正数,
∴√Sn-1=√S<n-1>,
∴√Sn-√S<n-1>=1,
∴√Sn=n,Sn=n^2,
an=2n-1,数列{an}是等差数列，不是等比数列.
2.cn=(2n-1)/2^(n-1),
∴Tn=1+3/2+5/2^2+……+(2n-1)/2^(n-1),①
Tn/2=....1/2+3/2^2+……+（2n-3)/2^(n-1)+(2n-1)/2^n,②
①-②，Tn/2=1+2[1/2+1/2^2+……+1/2^（n-1)]-(2n-1)/2^n
=1+2[1-1/2^(n-1)]-(2n-1)/2^n
=3-(2n+3)/2^n,
∴Tn=6-(2n+3)/2^(n-1).
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